Поиск - новости науки и техники

Уравнение для карася. Оригинальные математические решения пригодились даже рыбоводам.

Мир, в котором процессы удалось бы описать только простыми линейными законами, практически нереален. Так считают вникшие в суть проблемы специалисты. Мы вместе с ними живем в ином мире, где математическую основу явлений составляют, как правило, нелинейные формулы, со сложной зависимостью от параметров. Это и создает, в определенном смысле, разнообразие мира, приводит порой к неожиданным результатам. Здесь важно уловить закономерности, которые проявляются с течением времени. Изучая проблему, доцент Ярославского государственного университета им. П.Г.Демидова кандидат физико-математических наук Илья КАЩЕНКО успешно движется к цели. Его исследовательский проект “Локальная динамика нелинейных систем с запаздыванием” поддержан грантом Президента РФ. Наш корреспондент решил узнать, что скрывается за сложной формулировкой.

– Почти все процессы в мире нелинейные, – объясняет Илья Сергеевич. – Это означает, что если мы увеличим какие-то начальные данные, например, в два раза, то на выходе получим не пропорциональный двукратный результат, а совсем другой, как следствие более сложного закона. Нелинейные системы намного сложнее линейных.
Теперь о запаздывании. Поведение той или иной физической, химической, биологической или экономической системы часто зависит не только от текущего состояния этой системы (координат тел, параметров электромагнитного поля, концентрации химических веществ, цен на нефть), но и от ее состояния в прошлом. Такая “память” присутствует в ряде экономических моделей или при моделировании нейронов. Это аналог эха в лазере, когда фотону нужно время, чтобы пройти по резонатору. Если говорить о биологических системах, то, например, родившиеся особи влияют на популяцию вида только после достижения половозрелого возраста. Для описания всех этих явлений в математической модели используются члены, зависящие от состояния системы некоторое время назад, из-за чего происходит запаздывание.
Объект моего изучения – нелинейные дифференциальные уравнения с запаздыванием. Они возникают естественным образом в самых разных областях знаний.
– Осталось узнать, что подразумевается под локальной динамикой этих систем.
– Динамика – это поведение системы с течением времени. Приведу простой пример. Допустим, у нас есть изолированный водоем (пруд), в который заселяют популяцию рыб. Что произойдет с этой популяцией? Она может с течением времени вымереть, может выйти на некоторое значение своей численности, в зависимости от количества еды, пространства. Могут возникнуть колебания численности, тогда встает вопрос об амплитуде и периоде колебаний. Получить ответы на все эти вопросы можно, исследовав динамику системы.
Увы, исследование динамики – это сложная и зачастую нерешаемая задача. Причем не только аналитически, на бумаге, но и численно, даже с помощью суперкомпьютеров и кластеров. Дело в том, что система может реагировать на изменения параметров очень чутко и вычислительная погрешность компьютера для ряда задач оказывается очень высокой. Поэтому приходится ограничиваться задачей исследования локальной динамики, то есть в некоторой области, обычно около известного решения: состояния равновесия или цикла. В таких случаях акцент делается на выделении критических, бифуркационных значений параметров, при которых динамика меняется качественно. Например, решения перестают стремиться к фиксированному значению, и требуется последующее изучение случившейся бифуркации (под бифуркацией подразумевается качественное изменение в поведении решений).
Таким образом, изучение локальной динамики – это исследование поведения решений вблизи стационарных точек, циклов.
– Какую научную проблему помогут решить ваши исследования?
– Этой задачей я занимаюсь уже довольно давно, регулярно получаются какие-то новые результаты, рассматриваю новые ситуации. Основная идея в том, чтобы в критическом случае свести сложную динамическую систему к более простой. Такие системы называются нормальными формами. Первым предложил это делать еще Пуанкаре. Этот подход давно известен для обыкновенных дифференциальных уравнений, а также для уравнений с запаздыванием, если критический случай имеет конечную размерность.
Я занимаюсь задачами, в которых критические случаи имеют бесконечную размерность. Это возникает, например, если время запаздывания – асимптотически большая величина либо у старшей производной в системе стоит малый множитель. Такие процессы гораздо сложнее и интереснее.
Основной мой результат – это метод, который позволяет сводить исходные уравнения к более простым. За счет анализа более простых задач удается построить в явном виде приближения (с любой точностью) для установившихся режимов. Вдобавок это позволило обосновать такой важный для прикладных задач эффект, как гипермультистабильность – неограниченно большое число сосуществующих устойчивых режимов. Кроме того, эти аналоги нормальных форм уже можно уверенно решать численно, а значит, получать какие-то конкретные результаты в прикладных областях.
Что дальше? Наверное, не столько получение совсем новых результатов, сколько осмысление заново уже полученных: обобщение, сравнение, подготовка их к публикации, оформление докторской диссертации. Также хочется перевести свои исследования из чисто математической области в прикладную.
– Достижимо ли это? Как такая сухая теория может оказаться полезной практике? Есть ли уже примеры этого?
– Есть, и я надеюсь их умножить. Вообще-то одним из первых приложений таких уравнений стало логистическое уравнение с запаздыванием Хатчинсона. Сам Хатчинсон был биологом. Его называют “отцом лимнологии” (науки о жизни в обособленных водоемах). Так вот, он предложил в середине XX века модель для описания численности рыб, живущих в том или ином водоеме. Уравнение обрело определенную популярность, так как оно обладает рядом особенностей, которые не встречаются у обыкновенных дифференциальных уравнений, но при этом просто выглядит, просто записывается и к тому же имеет прикладной смысл. Благодаря ему удалось доказать, что отдельный вид не может существовать в одиночестве, то есть в отсутствии хищников и конкурентов. Животные размножаются до больших значений, а затем, когда подрастает молодняк и еды перестает хватать, резко вымирают. Есть всего три вида рыб, не подпадающих под это правило, – карась, окунь, щука. У окуней развит каннибализм, а караси и щуки имеют особый ритм размножения. Насколько я знаю, этот результат биологи неоднократно проверяли на практике, и он всегда подтверждался.

Фирюза ЯНЧИЛИНА
Фото предоставлено И.Кащенко

Нет комментариев