Многообещающие многообразия. Сложные задачи объединяют ученых.

— На трехмерные многообразия Фано впервые обратил внимание и начал их изучать выдающийся итальянский геометр Джино Фано, — рассказывает В.Пржиялковский. — Ученый был ярким представителем классической итальянской школы алгебраической геометрии, зародившейся в середине XIX века. Эта школа отличалась неформальностью, нестрогостью и удивительной геометрической красотой. До сих пор, когда хотят подчеркнуть геометрическое изящество в алгебраической геометрии, используют выражение “в итальянском стиле”. Однако к середине XX века из-за той же неформальности и нестрогости конструкций в алгебраической геометрии накопился вал ошибок. Стало сложно различать, что доказано, а что есть лишь правдоподобное рассуждение.

На выручку пришла французская школа алгебраической геометрии. Большую роль в ее основании сыграл Александр Гротендик. Группа математиков, взявшая общий псевдоним “Бурбаки”, взялась формализовать математику и, в первую очередь, алгебраическую геометрию. Отличаясь излишним формализмом и сухостью, они, тем не менее, сумели навести порядок в науке. Этому порядку “подчиняются” до сих пор.

Советская школа алгебраической геометрии, важнейшую роль в основании и продвижении которой сыграл Игорь Ростиславович Шафаревич, всю жизнь проработавший в МГУ и МИАН, зародилась в период, когда французская школа уже была в основном сформирована. Это позволило внутри советской школы объединить красоту и геометричность итальянской школы, а также строгость и основательность французской. В итоге советская (а в дальнейшем и российская) школа алгебраической геометрии стала заметным явлением в мировой науке и заслуженным предметом гордости отечественных ученых.

Сегодня алгебраическая геометрия занимается сложными и абстрактными конструкциями. А изначально изучала решения систем уравнений, заданных многочленами от нескольких неизвестных. С одной стороны, можно рассматривать множество решений таких систем, так называемое “алгебраическое многообразие” — множество точек в многомерном пространстве. Или, другими словами, набор чисел, которые “зануляют” все уравнения системы. С другой стороны, систему уравнений можно воспринимать как алгебраический объект — набор многочленов. Выяснилось, что оба подхода на разных языках описывают одни и те же явления, что дает возможность применять геометрию к алгебре, а алгебру к геометрии. Такое взаимодействие алгебры и геометрии и есть суть алгебраической геометрии.

Разбирая работы итальянского математика Фано (при этом не владея итальянским языком, на котором они были написаны!), выдающийся советский и российский математик Василий Алексеевич Исковских дал современное определение многообразий Фано, принятое теперь во всем мире, а также изучил их, во многом следуя работам самого итальянского геометра. К слову, Исковских, совместно с Василием Викторовичем Голышевым, был моим научным руководителем. Эти многообразия интересны тем, что имеют, если можно так сказать, богатую и интересную геометрию. Кроме того, в каждой их размерности конечное число типов, в отличие от многих других классов многообразий. Они играют важнейшую роль во многих областях алгебраической геометрии, ключевую роль — в программе минимальных моделей.

— Зеркальная симметрия как направление в математике возникла из физики в конце 80-х — начале 90-х годов XX века. Важную роль в теоретической физике играют так называемые трехмерные многообразия Калаби — Яу. Это класс многообразий, “пограничный” с многообразиями Фано. Трехмерные многообразия Калаби — Яу описывают элементарные частицы в теории струн. Физики заметили удивительную двойственность: многообразия разбиваются на пары. Одни свойства соответствуют совершенно другим свойствам пары и наоборот. Очень скоро и математики обратили внимание на обнаруженный феномен. Кстати, это распространенный путь появления новых идей в математике: они приходят из физики и потом получают строгую математическую формулировку.

Появилась строгая формулировка гипотез зеркальной симметрии. Изучен ряд примеров зеркального соответствия. Важную роль в этом сыграли работающие за рубежом российские ученые Александр Гивенталь, Максим Концевич и многие другие. Как я уже упоминал, многообразия Фано имеют богатую геометрию, ученым интересно изучать связь этой геометрии с симплектическими свойствами двойственных объектов, присущих не “алгебраическому”, а “аналитическому” миру. Замечу, что двойственные объекты для многообразий Фано — не многообразия, а семейства многообразий, зависящие от одного комплексного параметра. Такие семейства называются моделями Ландау — Гинзбурга, зеркально двойственными многообразиям Фано.

— Большую роль в математике играет коммуникации как с коллегами, так и с учеными, занимающимися другими разделами математики и теоретической физики. Этому способствуют, в частности, международные семинары и конференции. Деятельность математика не такая, как у всех. Мы не трудимся “с девяти до шести”: нам не требуется формальное присутствие на рабочем месте. В основном, математики приходят на работу для обсуждения задач, а также для участия в семинарах, на которых они узнают новое и рассказывают о своих последних достижениях. Поэтому понятия “рабочий день” для математиков в России почти не существует (за границей же часто все по-другому). Выходные отличаются лишь тем, что нет семинаров. Математики могут днями заниматься чем-то посторонним, и в это время в их голове попутно “варится” проблема. Они обсуждают свои задачи с коллегами, копят знания. И в какой-то, часто совершенно неожиданный момент их осеняет! Вся картина того, что они изучают, вдруг высвечивается целиком.

Математики много времени проводят за компьютером: читают статьи, переписываются по почте. Поэтому идеи к ним чаще всего являются в неожиданных местах: в душе, по дороге в магазин, перед сном. После того как к ученому приходит видение решения задачи, начинается долгая и кропотливая работа, которая занимает все его время (тут тоже нет выходных). Ему нужно четко и строго доказать и проверить все детали решения, а также тщательно и понятно его записать. Это требует много времени. Текст переписывается, вычитывается и проверяется многократно. К сожалению, большую часть работы (особенно в последнее время) занимает и другая деятельность — это написание заявок и отчетов по грантам. 

— Я занимаюсь одним из подходов к зеркальной симметрии, который формулирует зеркальную двойственность в более простом, зачастую комбинаторном виде. Это позволяет эффективно построить и изучить большое число примеров, которые потом могут изучаться и для других версий гипотезы зеркальной симметрии. Я дал определение торической модели Ландау — Гинзбурга, объекта, соответствующего многообразию Фано с точки зрения изучаемого подхода. Построил их для большого числа случаев, в частности, для тех же самых трехмерных многообразий Фано, которые изучали Фано и Исковских. Совместно с соавторами Натаном Илтеном, Людмилом Кацарковым, Джейкобом Льюисом, Валерием Лунцем, Константином Шрамовым и другими я исследовал их свойства. Мы обнаружили неожиданные связи с геометрией самих многообразий Фано. Сейчас подход к зеркальной симметрии через торические модели Ландау — Гинзбурга, можно сказать, стал популярным, используется научными группами в Великобритании, Канаде, США.

— Практического применения, в обывательском смысле, нет. Я вообще считаю, что от математики нельзя требовать прикладной пользы. Она и так используется во всех научных областях, недаром ее называют королевой наук. Старый спор: что делает математик, когда обнаруживает новый объект или структуру? Он придумывает его или открывает существующий, но неизвестный ранее? На мой взгляд, открывает. В этом смысле я считаю математику разговором с Богом. Ее объекты существуют независимо от человека. Человек может только познать их. 

— По-разному. Сейчас чаще совместно. Хорошая задача обычно связана с различными областями и подобластями науки. В группе соавторов может быть “ведущий”. Он предлагает задачи и больше всего в них заинтересован. Это не значит, что “ведомый” хуже как ученый. Часто это хороший математик, интересующийся новой областью. Ученому нельзя застаиваться (как, впрочем, и скакать по разным темам). Он должен расширять свой кругозор и область, которой занимается. В совместных статьях я был и ведущим, и ведомым. 

— Продолжать заниматься математикой как в области зеркальной симметрии, так и в других областях алгебраической геометрии. 

Сейчас модно требовать точные планы на несколько лет вперед: “Откроем новую частицу в текущем квартале” (как в фильме “Девять дней одного года”). Такие планы ставить бессмысленно. Ученый часто сам не знает, чем он будет заниматься через год. Это зависит от того, что он обнаружит сейчас и что его заинтересует. Кроме того, неправильно строить планы на творческую деятельность: задача, над которой математик работает, может и не получить решения. Самое главное — процесс работы.

И все-таки некоторые конкретные планы есть. Например, мой друг и соавтор, болгаро-американский математик Людмил Кацарков, выиграл мегагрант на создание Лаборатории зеркальной симметрии и автоморфных форм. В рамках этой лаборатории мы будем приглашать выдающихся мировых ученых в Москву, организовывать конференции, привлекать молодежь.