В технических и инженерных задачах, как правило, не существует точных математических решений. Поэтому ученые нередко применяют следующий способ. В каждом конкретном случае сначала используется достаточно грубое приближение, а затем с помощью метода “проб и ошибок” это решение дорабатывается до той степени точности, которая требуется в данной задаче. О том, как “делать пробы” и “оценивать ошибки”, корреспонденту “Поиска” поведал заведующий кафедрой прикладной математики Санкт-Петербургского политехнического университета Петра Великого, директор Института прикладной математики и механики доктор физико-математических наук Максим Фролов, получивший грант Президента РФ для молодых ученых.
— Мы разрабатываем методы решения задач механики деформируемого твердого тела, — рассказывает М.Фролов. — Они основаны на построении адаптивных алгоритмов с применением апостериорного контроля точности. Звучит сложно, но суть проста: подстраиваем схему решения под особенности конкретной задачи. Апостериорными оценки называются по той причине, что делать их приходится после того, как уже найдено приближенное решение задачи. Эти оценки обеспечивают инженера-расчетчика важной дополнительной информацией о том, какая погрешность содержится в конкретных результатах по сравнению с неизвестным точным решением в рамках выбранной математической модели.
Иными словами, при расчете мы не знаем точного решения, но можем сказать, что отклонение от него составляет, например, не более 5%. В случае если точность не является удовлетворительной, необходимо, чтобы метод помогал построить более адекватное приближение, указывая те зоны, где точность решения низкая. Если это удается сделать в автоматическом режиме, то получается адаптивный алгоритм, работающий по часто приводящейся в западной литературе схеме SOLVE → ESTIMATE → MARK → REFINE (решение задачи, оценка точности конкретного решения, отметка зон с большой погрешностью, улучшение аппроксимации, или качества разбиения, в этих зонах и снова переход к решению).
С одной стороны, на данном этапе речь в проекте идет о достаточно распространенных в механике математических моделях, например, в теории пластин. С другой — даже такие традиционные классы задач еще недостаточно изучены в вычислительных аспектах, связанных с построением гарантированных оценок погрешности приближенных решений и их практической реализацией. Термин “гарантированные оценки” возник не случайно. Он позволяет особо отметить те теоретические методы, которые при применении в реальных расчетах сохраняют свою надежность.
Часто бывает, что с математической точки зрения оценка получена строго, но при ее практическом применении появляются проблемы. Например, такая ситуация может возникнуть из-за того, что вместо точных значений, которые неизвестны, в оценку приходится подставлять какие-то приближения. Отличительная особенность развиваемого нами подхода как раз заключается в его надежности — он всегда дает гарантированную верхнюю оценку ошибки, возникающей при замене точного решения на приближенное.
В частности, такую оценку удалось получить для плоских задач теории упругости Коссера. В рамках этой интересной неклассической теории точки тела помимо перемещения наделены возможностью независимого поворота. Хотя эта теория находится в фокусе внимания механиков уже полвека, а предложена была более 100 лет назад, в плане контроля точности решений для нее сделано мало.
— Кто ваши коллеги?
— В этом проекте у нас собран относительно небольшой молодой коллектив — мне помогают кандидат наук, аспирант и пара студентов. Последние пока еще присматриваются к тематике и выбирают ту работу, которая им окажется по душе.
Основоположник и лидер нашего научного направления — мой учитель, профессор кафедры “Прикладная математика” Санкт-Петербургского политехнического университета Сергей Игоревич Репин, возглавляющий совместную лабораторию вычислительных методов математической физики. Это научное подразделение было создано в 2008 году на базе университета в рамках соглашения с Санкт-Петербургским отделением Математического института им. В.А.Стеклова РАН, где Сергей Игоревич работает главным научным сотрудником в лаборатории математической физики. Сейчас направление, которое он основал, развивают в России, Финляндии, Австрии, Чехии.
Я начал работу под его руководством еще в 2000 году, когда учился в магистратуре. Потом была аспирантура и дальнейшая работа на кафедре, которая сейчас продолжается в Институте прикладной математики и механики (бывший физико-механический факультет).
— Расскажите, пожалуйста, подробнее о методах, которые вы применяете.
— Если говорить об истории вопроса, то различные подходы к построению методов апостериорного контроля точности и адаптивных алгоритмов активно развиваются с конца 1970-х годов. В середине 1990-х появилась первая монография на эту тему. Сейчас таких монографий уже примерно два десятка, а число публикаций исчисляется тысячами.
Сформировалось несколько подходов, позволяющих решать инженерные и технические задачи. Однако они не всегда дают результат с гарантированной точностью. Это одна из причин, по которым профессор Сергей Репин и его коллеги решили подойти к изучению проблемы построения апостериорных оценок с позиции более общих фундаментальных подходов. Так, кстати, делал в свое время известный советский математик Соломон Григорьевич Михлин, правда, новые методы, которые предлагаются сейчас, существенно более удобны при реализации на практике.
В России в этой области работают московские, казанские, новосибирские ученые, но, пожалуй, наиболее интенсивно такие методы развиваются именно в Петербурге.
— Какие ресурсы вы используете в своей научной деятельности? Нужны ли какие-то особые вычислительные мощности, оборудование?
— На данном этапе какие-то специальные ресурсы не требуются — обходимся персональными компьютерами или ноутбуками достаточной мощности и стандартными средствами разработки программного обеспечения. Коллеги реализуют алгоритмы при помощи разных языков программирования, а я сам уже лет десять использую исключительно FORTRAN (современный стандарт языка с поддержкой концепции объектно-ориентированного программирования).
В будущем планируется выход на ресурс недавно построенного и введенного в эксплуатацию суперкомпьютерного центра нашего университета — СКЦ “Политехнический”, что наверняка потребует внимательной ревизии используемых вычислительных алгоритмов, но откроет новые возможности по адаптации подхода к промышленному применению. Поскольку сейчас проект ближе к фундаментальному исследованию в области вычислительной математики, какое-то экспериментальное оборудование нам не нужно.
— Где могут применяться его результаты?
— Мы надеемся, что они найдут применение при разработке отечественных аналогов программного обеспечения для адаптивного решения задач математического моделирования в механике и физике. Проект может также заинтересовать коллективы научных лабораторий образовательных организаций и институтов РАН, а также команды разработчиков программного обеспечения, занимающихся созданием отечественных продуктов, направленных на решение задач математического моделирования с использованием суперкомпьютерных технологий.
Беседовала Фирюза ЯНЧИЛИНА
Фото предоставлено М.Фроловым
Нет комментариев