Поиск - новости науки и техники

Во сне и наяву. Настоящий математик решает задачи круглосуточно.

“Арифметические характеризации конечных групп” – каждое слово в этом сочетании человеку непосвященному понятно, а вот вместе… В этом – вся загадочность математики, постичь таинства которой могут лишь избранные. Один из них – кандидат физико-математических наук Наталья МАСЛОВА. Старший научный сотрудник Института математики и механики им. Н.Н.Красовского УрО РАН и доцент Уральского федерального университета им. первого Президента России Б.Н.Ельцина занимается вышеупомянутой темой, причем весьма результативно: публикуется в высокорейтинговых журналах, получила за свой проект грант Президента РФ для молодых ученых. Корреспондент “Поиска” попытался углубиться в математические дебри теории групп. 
– Основное направление моей научной работы – исследование свойств конечных групп и получение их арифметических характеризаций. Еще во время обучения в университете меня поразили красота и универсальность такого раздела алгебры, как теория групп. Дело в том, что понятие группы широко обобщает фундаментальные свойства симметрии. А о роли симметрии в науке знают все. С любым реальным или мыслимым объектом можно связать группу его симметрий (или по-другому автоморфизмов), то есть некоторых обратимых преобразований, сохраняющих какие-то свойства этого объекта. 
Множества вращений сферы, периодичностей кристалла, симметрий атома – все это примеры групп. Исследовав группу симметрий, можно получить новую информацию уже о самом объекте. Начиная с середины XX века, с расцветом дискретной математики и компьютерных наук все более весомую роль в современной науке играют конечные группы, содержащие конечное число элементов, которые возникают как группы автоморфизмов конечных графов, кодов. 
– Что такое “арифметические характеризации”? Что означает “получить арифметическую характеризацию конечной группы”? 
– Арифметическими принято называть свойства группы, которые определяются ее числовыми параметрами – такими, как, например, количество элементов в группе. – “Получить арифметическую характеризацию конечной группы” – это понять, какие значения принимают некоторые числовые параметры этой группы, какими соотношениями они связаны, и ответить на вопрос, как влияют значения этих параметров на строение самой группы, то есть насколько может отличаться от “нашей” группы другая конечная группа с такими же параметрами. Например, если количество элементов в исследуемой группе – простое число, то она определяется однозначно. Это значит, что другой, отличной от нее, группы с тем же количеством элементов просто не существует. 
Одной из важных задач современной теории групп является изучение арифметических свойств конечных групп и получение арифметических характеризаций таких групп. 
– Почему эта задача важна? 
– Пожалуй, лучший ответ дал Пифагор: “В основе вещей лежит число. Познать мир – значит, познать управляющие им числа”. Такие знания фундаментальны и представляют ценность сами по себе. 
Что касается применения результатов. Допустим, исследуется некоторый объект (математический, физический или какой-то другой). Группу его симметрий заранее мы не знаем. Но из “видимых” свойств самого объекта можем извлечь информацию о каких-то свойствах этой группы, в том числе о некоторых ее арифметических параметрах. И здесь сведения об арифметических свойствах и арифметических характеризациях конечных групп могут быть полезны для того, чтобы “восстановить”, насколько это возможно, группу симметрий объекта, а, исследовав эту группу, получить новую информацию уже о самом объекте. 
“Игрушечный” пример – хорошо известный всем кубик Рубика. Его преобразования, однозначно определяющиеся перестановками 48 нецентральных квадратов граней, образуют группу. С помощью исследований теоретико-групповых и арифметических свойств этой группы были даны оценки минимального числа поворотов граней, необходимых для того, чтобы привести кубик Рубика из любого состояния в то, когда каждая грань одноцветна. Причем было доказано, что если повторять одну и ту же последовательность действий (зафиксированную заранее), то не более чем через 1260 повторений кубик вернется в то самое состояние, из которого мы начинали. 
В реальности на месте кубика Рубика может оказаться, например, кристалл или код, или сеть дорог между городами. То есть, по сути, разрабатываются инструменты, которыми могут воспользоваться другие исследователи для решения своих задач, необязательно математических. 
– Кто-то еще занимается подобными исследованиями? 
– Исследованием арифметических свойств конечных групп занимались многие известные ученые, например, Филипп Холл (Великобритания), Сергей Антонович Чунихин (СССР) и Гельмут Виланд (Германия). Сегодня в России такие исследования ведутся в Новосибирске, Екатеринбурге, Москве, Ярославле, Красноярске. За рубежом – в Австралии, Великобритании, Германии, Италии, Китае, США и некоторых других странах.
– Вы сказали, что теория групп – ваше основное направление. Какие еще исследования ведете? 
– Вообще я очень люблю математику. Поэтому, в принципе, могу увлечься задачей, которая не совсем из моей области. Например, у меня есть пара работ по комбинаторике. А во время обучения в университете писала по несколько курсовых работ каждый год. Чего только ни попробовала: математический анализ, дифференциальные уравнения, теория чисел, теория колец…
– Как вы проводите свои исследования? Я слышал, что у математиков довольно специфическое представление о рабочем дне.
– В моем понимании математическое “производство” разбивается на несколько условных этапов. На первом ставится задача. Как известно, грамотно поставленная задача – это уже половина ее решения. Затем – поиск идеи решения. В обоих случаях это работа творческая, иногда даже интуитивная. Естественно, бывают необходимы и доступ к справочной информации, и знакомство с результатам новейших исследований по тематике, и проведение вычислительного эксперимента, и дискуссии с коллегами. 
Обдумывание задачи не завершается, если оказываешься за пределами рабочего кабинета. Идешь по улице – думаешь, заходишь в магазин – думаешь, еду готовишь – тоже думаешь. Да что там, мне недавно доказательство одного утверждения и вовсе приснилось! Когда решение получено, запускаются два параллельных процесса – апробация результата и работа над текстом статьи. Оба этих этапа также важны для получения качественного результата. Ведь для того чтобы сделать результат понятным и доступным научному сообществу, необходимо его грамотно изложить. 
Иногда как в изложении готовых результатов, так и в постановке новых задач, очень помогают вопросы, которые задают коллеги во время или после твоего доклада на семинаре или конференции. Именно поэтому очное участие в международных конференциях высокого уровня необходимо для проведения качественных исследований. Что касается работы над текстом, то написать, вычитать, корректировать – это уже работа более кропотливая, требующая аккуратности. Трудоемкая и немного скучная, но необходимая.
– Контактируете ли вы с коллегами из России и других стран? 
– У меня многолетний опыт сотрудничества с коллегами из Новосибирска. Более десятка работ в соавторстве. Также есть совместные труды с учеными из Словении и Китая. На этапах постановки задач и поиска идей решения очень важны личный контакт, обсуждения. Стараюсь как можно чаще приезжать в Новосибирск, выступать с докладами на семинарах, проводить совместные исследования. С зарубежными соавторами также работаем во время встреч на конференциях или в ходе коротких визитов. Тексты статей обычно корректируем дистанционно, по электронной почте, внося в них изменения по очереди. Иногда обсуждаем статьи в Skype. Правда, интерактивная дистанционная работа с зарубежными коллегами несколько затруднена из-за разницы в часовых поясах – электронная почта здесь удобнее.
– В каких журналах публикуетесь? Расскажите о процессе подготовки статьи, ее предоставления в журнал.
– Как я уже упоминала, написание текста статьи – это очень важный этап для математического результата. Некоторые статьи пишутся быстро и легко, месяца за два-три. Это действительно быстро, так как изложить полученный результат не всегда просто, тем более необходимо проверить все доказательства на предмет ошибок и неточностей. Но есть труды, которые создаются годами. Сейчас у меня 23 опубликованные работы, еще пять приняты к печати, примерно треть всех работ – без соавторов. 
Выбор подходящего журнала также очень важен. Раньше, сразу после аспирантуры, публиковала статьи в основном в местном журнале. Сейчас посылаю их как в отечественные, так и в зарубежные издания. Для меня в первую очередь важно соответствие тематики статьи тематике журнала. В этом случае редколлегия будет иметь возможность отправить работу на рецензию специалистам, хорошо знакомым с темой исследования. Положительной рецензии это, конечно, не гарантирует, но оценка в таком случае обычно более объективная. Сама сотрудничаю как с отечественными, так и с зарубежными изданиями в качестве рецензента, поэтому примерно представляю, какие журналы публикуют работы по близкой мне тематике. Кроме того, журнал по профилю может порекомендовать кто-то из коллег во время обсуждения результата. 
Требования к оформлению статьи зависят от издания, обычно их легко найти на сайте издания. Иногда статью принимают к печати с первого раза – это когда на нее были получены положительные рецензии, а у рецензентов были минимальные замечания к тексту. Иногда рецензент присылает положительную рецензию на работу, но высказывает серьезные замечания к тексту, и в статью приходится вносить весомые изменения. За такие замечания я особенно благодарна. Считаю, что они помогают улучшить текст статьи. 
В большинстве журналов, с которыми я сотрудничаю как рецензент, статью просят рассмотреть в течение 1-3 месяцев. В то же время на некоторые статьи приходится писать более одной рецензии, когда результат новый и интересный, но, например, изложен неаккуратно. Мой личный рекорд как рецензента – пять рецензий на одну и ту же работу. Естественно, чем дольше идет переписка с автора и рецензентом, тем больше времени проходит с момента направления работы в журнал до момента публикации, если, конечно, работа будет принята к печати. Кроме того, от момента принятия статьи в печать до публикации иногда проходит полгода, иногда год, а бывает, что и больше. Это зависит от величины портфеля журнала. 
– Приходилось слышать от некоторых ученых, что их работа рецензента даже в зарубежных журналах бесплатна. 
– Да, для меня рецензирование – это неоплачиваемая работа. Можно сказать, дань научной добросовестности. 
– Какие у вас ближайшие научные планы?
– Недавно авторскому коллективу, в составе которого я работаю, удалось получить серьезное продвижение в решении большой задачи, продолжающей тематику исследования моей кандидатской диссертации. В ближайшее время хочется закрепить успех и завершить решение. Кроме того, сейчас я заканчиваю подготовку своей докторской диссертации, планирую представить ее к защите. 
Беседу вел Василий ЯНЧИЛИН
Фото предоставлено Н.Масловой

Нет комментариев