Математику недаром называют царицей наук. Без нее, как правило, не обходится ни одна область знания. Даже ученые-гуманитарии нередко прибегают в своих исследованиях к ее помощи. И, конечно, все заинтересованы в том, чтобы она успешно развивалась, ждут от нее результатов, которые можно будет использовать для новых открытий и разработок. Оправдывает ли эти надежды современное поколение математиков? Какие перспективные проблемы оно решает? За что получает грантовую поддержку и награды? Об этом (и не только) беседа нашего корреспондента с доцентом факультета математики Национального исследовательского университета “Высшая школа экономики” кандидатом физико-математических наук Евгением ФЕЙГИНЫМ. Важность исследований, которые ведутся под его руководством, подтвердили эксперты Российского фонда фундаментальных исследований: в 2012 году проект коллектива молодых ученых вошел в число победителей престижного конкурса.
— Математика — разнообразная и обширная наука, — говорит Евгений Борисович. — Зачастую возникает ощущение, что ее части плохо взаимодействуют между собой, и математики, работающие в разных направлениях, не могут понять друг друга. Но ведь любой ученый, чтобы достигнуть чего-то, должен разбираться и в смежных областях знания. Это то преимущество, которое позволяет воплотить новые, неожиданные подходы и методы. Для меня математика — единая наука. Я считаю, что каждый, кто ею занимается, должен обладать и уметь пользоваться как можно большим объемом различных математических знаний. Именно поэтому мне интересна теория представлений — раздел, который изучает симметрии разных объектов: алгебраических структур, геометрических фигур, физических систем. Результаты и приложения этой теории затрагивают такие области математики и математической физики, как топология, алгебраическая геометрия, теория чисел, комбинаторика, теория дифференциальных уравнений, квантовая механика, теория поля. Один из ярких примеров такого рода приложений — теория уравнений типа Кортевега — де Фриза. Два голландских математика — Дидерик Кортевег и Густав де Фриз — еще в конце ХIХ века получили уравнения, описывающие движение волн. И только во второй половине ХХ столетия было показано, что мощный математический аппарат для построения решений этих уравнений дает именно теория представлений, что, впрочем, не главное ее предназначение, а, скорее, важное и неожиданное приложение.
Общий подход теории представлений — изучение объекта с помощью его симметрий. В эти рамки укладывается и проект, поддержанный грантом РФФИ, который называется “Грассманианы, многообразия флагов, обобщения и действия алгебраических групп”.
— А если проще?
— Речь идет о важном классе геометрических объектов. Все знают, что есть, скажем, отрезок, прямая, окружность. Казалось бы, между ними мало общего. Однако если взять маленький кусочек прямой, то получится нечто, напоминающее отрезок, часть окружности тоже можно “разогнуть” в отрезок. Объекты, обладающие такими свойствами, называются многообразиями. Эти свойства мы и изучаем.
Классический пример многообразий — грассманианы, названные в честь знаменитого немецкого математика ХIХ века Германа Грассманна. Коротко о них можно сказать так: это многообразие подпространств определенной размерности в фиксированном векторном пространстве. Приведу простой и наглядный пример. Представим обычную двумерную плоскость (поверхность бесконечного стола). Зафиксируем на ней одну точку (начало координат) и будем проводить через эту точку всевозможные прямые. Возникает вопрос: можно ли рассматривать все эти прямые вместе взятые как один геометрический объект, одно многообразие? Оказывается, можно и даже нужно! Этот подход приводит к большому числу новых, важных конструкций и теорем. В нашем простейшем случае двумерной плоскости и прямых, проходящих через одну точку, получившееся многообразие будет окружностью. Давайте теперь нарисуем на нашем бесконечном столе фигуру (например, единичного радиуса) с центром в начале координат. Каждая прямая будет пересекать ее в двух противоположных точках. Поскольку мы хотим учитывать каждую прямую только один раз, то возьмем только одну половинку окружности, а вторую просто сотрем. Тогда почти все прямые, проходящие через начало координат, будут пересекать нашу половинку окружности ровно один раз. Исключение составит лишь прямая, проходящая через концы полуокружности. Таким образом, для того чтобы каждая прямая была учтена ровно один раз, нам осталось склеить концы нашей половинки окружности. Легко представить себе, что в результате мы опять получим полную окружность!
Этот пример удобно иллюстрирует метод изучения геометрических объектов с помощью их симметрий. Как можно представлять себе окружность? Конечно, каждый еще в школе неоднократно рисовал ее с помощью циркуля. Ее ключевое свойство — при повороте вокруг своего центра окружность переходит в себя (если представить себе окружность в виде руля автомобиля, то при повороте руль остается рулем).
Теперь рассмотрим более сложную ситуацию. Зафиксируем точку (начало координат) в трехмерном пространстве. Через эту точку можно проводить прямые, а можно и двумерные плоскости. Обратим внимание на всевозможные пары “прямая + плоскость”, но не любые, а когда прямая лежит на плоскости. Например, если вспомним наш бесконечный стол, то в качестве плоскости можно взять его поверхность. Такой объект (прямая + плоскость, ее содержащая) называется флагом. Здесь прямая ассоциируется с древком, а плоскость с полотнищем. Вполне естественно рассматривать и флаги, состоящие из пространств больших размерностей. Я не могу точно сказать, кто придумал термин “флаг”, это название встречается в работах европейских математиков уже в 1950-х годах.
Возникает вопрос: можно ли рассматривать все флаги вместе и снабдить их структурой многообразия? Оказывается, можно. Получившийся объект является очень важным в разных областях математики, имеет массу приложений в теории алгебр и групп Ли, комбинаторике, алгебраической геометрии, математической физике. Изучению многообразий флагов посвящены тысячи статей и сотни книг разных авторов во всем мире.
— Можно представить, как работают экспериментаторы. Но как же происходит исследовательский процесс у математиков?
— Тут есть несколько составляющих. Безусловно, основная часть — это обдумывание математической задачи или проблемы, над которой я в данный момент работаю. Обычно мне достаточно ручки и тетрадки. Иногда я использую компьютер для какого-нибудь вычисления или проверки гипотезы. Вторая составляющая — общение с коллегами. В нашей группе, работающей в рамках проекта “Грассманианы, многообразия флагов, обобщения и действия алгебраических групп”, девять человек. В основном это молодые ученые, но есть еще два аспиранта и студент. Мы общаемся друг с другом, обсуждаем полученные результаты, просто делимся идеями. Важный элемент общения — переписка по электронной почте с зарубежными специалистами. Обмен опытом происходит и во время конференций или выездных школ. Наконец, третья часть — это оформление полученных результатов в виде статьи. А вообще, основной прибор, необходимый для работы, — свежая голова.
— И что уже успел сделать комплекс “основных приборов” вашей группы?
— Надо заметить, что кроме специального класса геометрических структур, таких как грассманианы и многообразия флагов, мы изучаем их обобщения, которые имеют разную природу. Некоторые из них приходят из алгебраических приложений и конструкций, другие — из попыток построить более широкий класс геометрических объектов, обладающих такими же замечательными свойствами, как и их классические аналоги, третьи — из задач математической физики. Цель нашего проекта, как я уже говорил, — исследование свойств геометрических структур (многообразий), и мы двигаемся в этом направлении. В частности, научились использовать алгебраическую (в некотором смысле численную) информацию для получения результатов о геометрической структуре интересующих нас объектов. Это позволило, например, построить разрешения особенностей так называемых колчанных грассманианов. Раньше это представлялось невозможным из-за того, что соответствующие алгебраические средства просто не были разработаны.
— Куда собираетесь потратить средства гранта?
— Предполагается использовать их на оплату командировочных расходов и выплаты участникам гранта. Возможно, часть денег также пойдет на закупку новых компьютеров. Мы планируем продолжить исследование многообразий флагов и их обобщений. В первую очередь, меня интересует взаимодействие различных областей математики, которое столь ярко проявляется здесь. Например, можно изучать свойства какой-нибудь числовой последовательности, используя информацию о том, как устроен правильно подобранный геометрический объект. И наоборот, геометрия интересующего объекта и поведение морских или плазменных волн описываются в терминах “сухой” алгебры! Более того, зачастую оказывается, что, не используя такие неожиданные и неочевидные взаимосвязи, нельзя ответить на интересующий вопрос.
Если же говорить о дальнейших задачах, то они частично зависят от того, насколько далеко нам удастся продвинуться в рамках реализации проекта, поддержанного грантом РФФИ. Как я уже отмечал, рассматриваемые нами объекты весьма разнообразны и важны для различных математических областей. Мне хотелось бы распространить уже имеющиеся конструкции и теоремы на гораздо более широкий класс объектов: алгебраических, геометрических, комбинаторных. Другими словами, на примере классических объектов и их естественных обобщений мы планируем разработать аппарат для изучения класса математических структур разной природы, которые на данный момент плохо поддаются описанию существующими методами (или вообще не поддаются). Такая задача обобщения важна и интересна.
Фирюза ЯНЧИЛИНА
Фото из архива Е.Фейгина
Нет комментариев