Поиск - новости науки и техники

О пользе возмущений. Уфимские ученые открывают новые сферы применения одной из основополагающих теорий современной математики.

Иногда крохотные изменения приводят к большим результатам. Можно ли заранее вычислить такие эффекты? Ничего невозможно го нет, особенно если за дело берутся молодые талантливые ученые. Ведущий научный сотрудник Института математики с вычислительным центром Уфимского научного центра РАН и профессор кафедры математики и статистики Башкирского государственного педагогического университета им. М.Акмуллы Денис БОРИСОВ как раз из их числа. За теоретические исследования, внесшие вклад в копилку научных достижений, он получил множество наград, в том числе и зарубежных. Одна из отмеченных работ, которой молодой ученый продолжает заниматься и сегодня, связана с развитием теории возмущений для конкретных задач математической физики. Наш корреспондент попросил его рассказать о том, что представляет собой эта теория и какие нюансы он собирается в нее добавить.

– Теория возмущений, – объясняет Денис Иванович, – это крупный раздел современной математики, аппарат которого используется для того, чтобы получить ответы на самые разные вопросы. Предположим, есть модель какого-то процесса, либо какая-то задача, либо уравнение, либо, в конце концов, некий математический объект с известными свойствами. Малое искажение, изменение, деформация, скажем, этого объекта объединяются понятием “возмущение”. Исследование подобных изменений лежит в основе многочисленных методов, которые представляют собой различные формы теории возмущений.
В каком-то, допустим, уравнении мы можем слегка изменить коэффициенты или дописать дополнительные члены к нему. Основной вопрос: как при этом меняются те свойства, которые были известны для исходной модели? Такие задачи важны как для математики, так и для естествознания в целом. Математический интерес связан с тем, что возмущения различных моделей часто становятся причиной заслуживающих внимание эффектов. Свойства исследуемого объекта могут меняться не только количественно (приводя к новому численному значению какого-то показателя), после небольшой вариации модели иногда происходит качественная перестройка ее свойств. Актуальна и практическая сторона: в реальных физических, химических, биологических экспериментах невозможно абсолютно точно определить те или иные величины, измерения всегда делаются с некоторой погрешностью. Ее математически можно рассматривать как малое искажение исследуемой модели. Порой такие ошибки приводят к значительному отличию теоретических результатов от реального положения дел. Разумеется, мое объяснение упрощенное, математически теория возмущений устроена гораздо сложнее и богаче.
– К каким задачам вы применяете эту теорию? Чем они интересны и важны?
– Конечно, мой проект, получивший поддержку в виде гранта Президента РФ для молодых ученых, не предполагает глобального развития теории возмущений. Нельзя объять необъятное, тем более за два года. Мои исследования связаны с применением этой теории для нескольких конкретных моделей в математической физике. Поставленная задача относится к тем, что находятся на стыке теории граничного усреднения и спектральной теории неограниченных операторов. В последнее время было обнаружено, что подобный стык приводит к новым интересным результатам. Еще одно направление посвящено квантовым волноводам. Это достаточно популярный объект исследований в математической физике, позволяющий моделировать квантово-механические процессы в наноструктурах. Правда, те модели, которые я изучаю, далеки от реальных экспериментов. Цель моих исследований, прежде всего, обнаружение на качественном уровне эффектов, которые могут возникать в таких структурах. В проекте акцент будет сделан на модели квантовых волноводов, в которых малое возмущение приводит к качественной перестройке свойств системы. В моем случае речь идет о возникновении новых связанных состояний из границы существенного спектра при заданном возмущении модели. В физике под связанным состоянием понимают такую динамику квантовой частицы, когда она с вероятностью почти единица находится в ограниченном объеме пространства. Существенный спектр, наоборот, подразумевает свободное перемещение по всему пространству. Фактически речь идет о ситуации, когда малое возмущение системы приводит к захвату и удержанию частиц, которые до этого могли свободно двигаться в большой области. Для всех моделей мы используем обыкновенные дифференциальные уравнения и уравнения в частных производных. Наша глобальная цель – описать влияние возмущения на свойства их решений.
– Как проходят ваши исследования? Участвует ли в этом коллектив?
– Мои научные исследования происходят так же, как у всех математиков: теоретические поиски, решение задач на бумаге – сидя за столом, с ручкой в руке. Никаких экспериментов. Численными расчетами я тоже не занимаюсь, так как нет в них необходимости. В коллектив проекта помимо меня входят два аспиранта (Тимур Шарапов, Оскар Султанов) и студент Рамис Каримов. Тимур и Рамис – мои ученики из Башкирского государственного педагогического университета, работают в моей исследовательской группе. Оскар – коллега по отделу, занимается достаточно близкими по тематике исследованиями, поэтому он органично вошел в наш проект. Все эти молодые люди отвечают за конкретные вопросы. Моя научная роль, в принципе, такая же: я ответственен за решение определенного круга задач. Также на мне обязанности руководителя проекта. Еще я буду писать отчеты и готовить разные документы. Тимур занимается задачами граничного усреднения в областях высокой размерности. Рамис активно работает в моей группе уже полтора года, его задача посвящена исследованию возникновения новых связанных состояний для цилиндрических областей, которые можно рассматривать как модели наноструктур. Оскар трудится в области нелинейного анализа, исследует различные явления, возникающие при возмущении нелинейных моделей.
– А какие результаты вы получили в предыдущих исследованиях?
– Они теоретические, связанные с изучением свойств поставленных задач. Наши исследования имеют фундаментальный характер. Иногда нам удается разработать новые методы или подходы, в этом случае ценность еще и в методике, которую можно использовать в дальнейшем. Основной результат наших исследований – получение приближенных формул для различных характеристик рассматриваемой возмущенной модели. Такие формулы могут использоваться для решения наших дифференциальных уравнений или каких-то связанных характеристик. Основная трудность при этом – невозможность найти решения в явном виде. Известно лишь то, что они существуют. Проводимый нами асимптотический анализ весьма ценный, так как дает представление о поведении решений. Наши приближенные формулы нередко оказываются весьма эффективными для практических задач, и их можно использовать для определения различных характеристик изу­чаемых моделей.
– Какая еще поддержка, кроме той, что дает грант Президента России, помогает вам успешно работать?
– Я также руководитель проектов, поддержанных Российским фондом фундаментальных исследований: помимо обычного инициативного есть еще и грант по совместной программе РФФИ-CNRS. Чтобы успешно все реализовать, работать приходится очень много и напряженно. Время от времени появляется поддержка в виде премий и наград. В частности, я обладатель трех медалей РАН с премией для молодых ученых (за 2002, 2007 и 2011 годы), дважды лауреат премии Европейской академии (2003 и 2008 годы), лауреат Государственной республиканской молодежной премии в области науки и техники (присуждена правительством Республики Башкортостан в 2003-м). С января 2013 года получаю стипендию фонда “Династия” по программе поддержки молодых математиков. Это разовые субсидии, но очень ценные и приятные.
Своих учеников я приучаю к тому, что нужно стараться участвовать в каждом конкурсе. Первые плоды это уже принесло: моя недавно защитившаяся аспирантка, Анастасия Головина, осенью прошлого года завоевала второе место в конкурсе Августа Мебиуса 2013 года (проводится Независимым Московским университетом). А недавно она стала обладателем медали РАН с премией для молодых ученых в области математики за 2013 год.
– Загадываете что-то на будущее?
– Буду продолжать заниматься научной деятельностью у нас в стране. Цели переехать из России куда-нибудь в Европу у меня нет, хотя какое-то время, не скрою, такое желание появлялось. Связано это было с тем, что после защиты кандидатской диссертации в 2003 году я достаточно много “путешествовал”: работал полгода в университете города Штуттгарт, полтора года в Институте ядерной физики Чешской академии наук в Праге, потом еще четыре месяца в Техническом университете Кемница (Германия). После окончания рабочих контрактов стоял выбор: поехать на двухлетнюю постдокторскую позицию в Кардифф (Уэльс) либо вернуться в Россию и защитить докторскую диссертацию. Второй вариант в итоге перевесил, особенно с учетом того, что в тот момент я выиграл стипендию Пьера Делиня в конкурсе, проводимом Независимым Московским университетом, и мое материальное положение в России представлялось вполне удовлетворительным. После возвращения на родину в 2007 году и защиты докторской в 2008-м дела в целом шли неплохо, особенно на фоне разразившегося мирового экономического кризиса. Так что в итоге я постепенно отошел от мысли поиска постоянной позиции в каком-нибудь европейском университете. Сегодня мои дела также идут в целом нормально, в Уфе живут мои родные, есть семья, маленькая дочка. Поэтому выраженной мотивации переезда куда-либо в поисках лучшей жизни нет. Я планирую и дальше работать в Российской академии наук, параллельно занимаясь преподавательской деятельностью в вузах столицы Башкирии. Конечно, хочется надеяться, что общая обстановка в стране, российской науке не будет ухудшаться, уровень жизни, условия работы ученых станут лучше и у меня не будет повода искать применения своих знаний и опыта в другом месте.

Фирюза ЯНЧИЛИНА
Фото предоставлено Д.Борисовым

Нет комментариев