Говорят, рассуждение Платона о том, что человечеству в процессе познания порой доступны только тени на стене пещеры и эхо, явилось предвестником решения Аристотелем задачи восстановления формы Земли по ее тени на Луне. Если выразить происшедшее в научных терминах, то тени и эхо — данные обратной задачи, а восстановление формы Земли по тени — проективная геометрия. Казалось бы, такие обобщения по силам только ученым, но на самом деле любой из нас, если находится в добром здравии и ясном сознании, ежеминутно решает обратные и некорректные задачи. И решает их, как правило, быстро и эффективно. Иначе люди давным-давно исчезли бы с лица земли. А вот сформулированы математические особенности некорректных задач были не более чем сотню лет назад, и с тех пор единый подход к их решению ищут лучшие умы человечества. Как это происходит и что уже дало цивилизации, рассуждали недавно на Международной молодежной научной школе-конференции “Теория и численные методы решения обратных и некорректных задач”. Она состоялась в Новосибирске, где восьмой раз была организована усилиями специалистов Института вычислительной математики и математической геофизики (ИВМиМГ) СО РАН и Новосибирского госуниверситета.
Пытаясь разобраться, чего ради ученые ломают голову над обратными задачами и что это может дать человечеству, журналисты нашей газеты пришли в ИВМиМГ СО РАН, где на наши вопросы ответил директор, член-корреспондент РАН, профессор, лауреат премии 2016 года Евразийской ассоциации обратных задач Сергей КАБАНИХИН.
— Прежде всего, хочу отметить, что на конференцию собрались ученые из 34 городов России, а также научных центров Бразилии, Казахстана, Киргизии, Китая, Португалии, Франции, Узбекистана и США — всего более 200 человек, — начал рассказ С.Кабанихин. — С сообщениями выступили свыше 70 молодых ученых, но, конечно, самое интересное было в докладах корифеев. Например, академики С.К.Годунов (на снимке в центре), А.Н.Коновалов, Н.А.Колчанов, М.И.Эпов говорили о новых обратных задачах и методах их регуляризации в нелинейных волновых процессах, теории упругости, биоинформатики и геофизики. Ярко выступили члены-корреспонденты РАН В.Г.Романов, А.М.Федотов, профессора М.П.Федорук, А.Г.Ягола, В.В.Пененко, В.П.Ильин, К.К.Сабельфельд и другие. Программа включала много научных направлений: методы регуляризации неустойчивых задач, обратные задачи математической физики, биологии, медицины, наук о Земле. Большой интерес вызвала новая для нашей школы тема — высокопроизводительные вычисления в обратных задачах.
— Сергей Игоревич, вы — главный редактор изданий Journal of Inverse and Ill-Posed Problems и “Сибирский журнал вычислительной математики”, постоянный сопредседатель Международных программных комитетов конференций по методам решения обратных и некорректных задач. Не могли бы вы объяснить популярно, почему математикам нужно решать обратные задачи? Что это вообще такое?
— Не только математикам приходится решать обратные задачи.
Возьмем, например, зрительное восприятие. Установлено, что наш глаз фиксирует лишь конечное число точек окружающих объектов, а не картину целиком. А как же тогда мы получаем о ней полное впечатление? Мозг, словно мощный персональный компьютер, по увиденным точкам восполняет (интерполирует и экстраполирует) все, что глаз не успел заметить. Ясно, что по набору точек восстановить представление об объекте можно лишь в случае, когда он уже более-менее знаком, визуально или тактильно. То есть, несмотря на сильную некорректность задачи, мозг решает ее довольно быстро, используя интуицию и предварительное знакомство с объектом (априорную информацию). И вообще, когда мы хотим понять что-то весьма сложное, решить задачу, вероятность ошибки в которой достаточно велика, мы, как правило, приходим к неустойчивой (некорректной) задаче и должны привлечь имеющийся опыт и каким-либо образом ограничить множество возможных решений. Каждый понимает, как легко ошибиться, пытаясь восстановить прошлое по некоторым фактам настоящего, например проследить мотивы и детали преступления по имеющимся уликам, понять причины зарождения и этапы развития болезни по результатам обследования и т.п. Или заглянуть в будущее: предвидеть жизненный путь ребенка, направление развития страны или иного сложного процесса. Или проникнуть в недоступную зону и понять, что там происходит, — определить состояние здоровья по функционированию внутренних органов человека; обнаружить месторождение полезных ископаемых; узнать что-либо новое о микромире или о Вселенной и т.д. В сущности, любая попытка расширить границы непосредственного восприятия окружающего мира приводит к некорректным задачам.
— А корректными какие считаются?
— Математики называют их прямыми. В них исследователи стремятся найти функции, описывающие различные физические явления: распространение звука, тепла, сейсмических колебаний, электромагнитных волн и т.д. Эти функции являются решениями прямых задач математической физики: систем уравнений Максвелла, акустики, теории упругости и других. При этом свойства среды (коэффициенты уравнений), а также начальное состояние процесса и его свойства на границе в прямых задачах предполагаются известными.
— Предполагаются?
— Ну да, хотя именно эти свойства на практике часто являются неизвестными. Возникает необходимость ставить и решать обратные задачи, в которых требуется определить либо коэффициенты уравнений, либо неизвестные начальные или граничные условия, либо расположение границ и другие свойства области, в которой происходит исследуемый процесс. Эти задачи в большинстве случаев некорректны (то есть в этих задачах нарушено хотя бы одно из трех свойств корректности — условие существования, единственности и устойчивости решения по отношению к малым вариациям данных задачи). А искомыми коэффициентами уравнений являются, как правило, плотность, электропроводность, теплопроводность и другие важные свойства исследуемой среды. Также очень часто в обратных задачах требуется найти местоположение, форму и структуру неоднородностей, дефектов, источников (тепла, колебаний, напряжения, загрязнения) и т.д. Неудивительно, что при таком широком наборе приложений теория обратных и некорректных задач с момента своего появления стала одной из наиболее стремительно развивающихся областей современной науки. Научившись решать устойчивые (корректные) задачи, математики перешли к более сложным неустойчивым (обратным и некорректным) задачам.
Надо признать, что во все века математики пытались решать некорректные задачи, просто не употребляли соответствующих терминов. Если присмотреться к истории науки, то обнаруживаешь, что отдельные обратные и некорректные задачи с давних пор были объектом исследования ученых в разных областях знания. Философское утверждение Платона о тенях и эхе, по которым мы иногда судим о реальном мире, — одна из вариаций некорректных, неустойчивых задач. А “пространственно-временные” очки Иммануила Канта, сквозь которые мы смотрим на мир? Введение физического понятия мгновенной скорости привело Исаака Ньютона к открытию производной, а проблема неустойчивости (некорректности) задачи численного дифференцирования функции, заданной приближенно, актуальна и по сей день. Исследования лорда Рэлея по акустике побудили его задуматься о возможности нахождения плотности неоднородной струны по ее звучанию (обратная задача акустики). И это предвосхитило, с одной стороны, развитие сейсморазведки, а с другой — теории спектральных обратных задач.
Тем не менее математические особенности некорректных задач были сформулированы Адамаром только в начале XX века, а вместе с тем встал вопрос о целесообразности поиска единого подхода к решению таких задач. Тезис о том, что некорректных задач нет, а есть задачи плохо поставленные, одних исследователей охлаждал, а других побуждал искать новые пути к решению этих “неправильных” задач. Рихарду Куранту убежденность в том, что неустойчивые задачи не имеют физического смысла, не помешала исследовать некорректную задачу восстановления функции по сферическим средним. Сергей Соболев в 1953-1955 годах был научным консультантом Валентина Иванова по докторской диссертации “Исследования по обратной задаче теории потенциала”, давшей теоретическое обоснование обратным задачам гравиразведки. Словом, первые публикации по обратным и некорректным задачам появились в XX веке. С возникновением мощных ЭВМ область приложений обратных и некорректных задач охватила практически все научные дисциплины, в которых используются математические методы. Главные направления применения — это физика, геофизика, астрономия, визуализация данных, медицинская и промышленная томография, дефектоскопия, дистанционное зондирование и многое другое.
— Но почему теорией обратных задач так увлеченно занимаются в Новосибирске?
— Потому что в Новосибирском академгородке работали ученые, внесшие существенный вклад в зарождение и развитие приложений теории обратных задач. Например, в открытие признанной жемчужины математической физики ХХ века — метода обратной задачи рассеяния. Наши земляки Владимир Захаров и Алексей Шабат еще в 1971 году применили этот метод для построения решения нелинейного уравнения Шредингера. А в том же 1971-м Владимир Захаров вместе с Людвигом Фаддеевым построил теорию уравнения Кортевега — де Фриза как гамильтоновой системы. Работы выдающихся ученых Анатолия Алексеева (Вычислительный центр СО АН СССР) и Сергея Гольдина (Институт геологии и геофизики СО АН СССР), а также их учеников и последователей стали основой математической теории прямых и обратных задач сейсмики. Думаю, что признанные успехи нынешнего поколения сибирских геофизиков во многом определены их высокой математической подготовкой на геолого-геофизическом факультете НГУ. Мне посчастливилось работать на этом факультете НГУ в те годы, когда там был создан творческий союз преподавателей-геофизиков (С.В.Гольдин, Л.А.Табаровский, М.И.Эпов и др.) и математиков (М.М.Лаврентьев, В.Г.Романов, Т.А.Годунова и др.). Сколько тогда спорили, какую математику и в каком объеме следует давать геофизикам! Собрания преподавателей превращались в научные дискуссии! Сейчас сотрудники и выпускники этой кафедры руководят научными институтами (Институт нефтегазовой геологии и геофизики, ИВМиМГ и др.), активно работают в таких крупных компаниях, как “Шлюмберже”, “Дженерал Электрик”, “Интел”, “Бейкер Хьюз” и другие…
Но стоит еще отметить, что всемирно признанными основоположниками теории некорректных задач являются А.Н.Тихонов, В.К.Иванов и М.М.Лаврентьев. В работах этих ученых были заложены основы теории обратных и некорректных задач. Одной из главных стала идея о том, что при исследовании некорректных задач необходимо сузить класс возможных решений. При этом важнейшую роль играет выбор множества, в котором ищется приближенное решение (множество корректности). Результаты математических исследований были применены для решения ряда конкретных обратных задач геофизики, радиолокации, астрономии, медицинской томографии. За выдающиеся научные результаты в этом направлении А.Н.Тихонов и В.К.Иванов были удостоены Ленинской премии, а позднее М.М.Лаврентьев, Ю.Е.Аниконов, В.Р.Кирейтов, В.Г.Романов и С.П.Шишатский стали лауреатами Государственной премии.
С конца XX века и по настоящее время в математике и во всех естественных науках наблюдается небывалый рост интереса к обратным и некорректным задачам. Неслучайно за очень короткий отрезок времени были учреждены четыре крупных международных журнала. Активно работают международные организации Inverse Problems International Association, Society on Inverse Problems in Science and Engineering, Eurasian Inverse Problems Society. Ежегодно в мире проходят десятки крупных конференций по различным направлениям теории и приложений обратных задач.
— Такое впечатление, что обратные задачи находят применение во всех областях науки…
— Конечно, возьмем пример, как говорится, “из воздуха”. Рассмотрим два, на первый взгляд, совершенно разных процесса: распространение уникального смерча в ущелье Медео (Алма-Ата, Казахстан, 17 мая 2011 года) и вдыхание наночастиц оксида марганца мышами.
В первой задаче мы пытаемся понять причины возникновения небывалого по мощности ветра, который, как спички, повалил огромные ели на всем протяжении ущелья Медео вплоть до горнолыжной базы Чимбулак. Пока есть только гипотеза: смерч распространился из-за уникального сочетания погодных условий и каскада возведенных высотных зданий, перекрывших естественное стекание холодного воздуха вниз по ущелью и далее вниз по городским проспектам.
Во второй задаче совместно с учеными из Института цитологии и генетики СО РАН и Института теоретической и прикладной механики СО РАН мы пытаемся моделировать и исследовать процесс поступления наночастиц в мозг через органы дыхания. Проблема важная, если учесть массовое производство нанопрепаратов, которые люди вдыхают, не имея биологической защиты от непредсказуемого воздействия наночастиц. Современные методы вычислений позволяют моделировать оба указанных процесса. Надо только построить цифровую модель ущелья Медео или верхних дыхательных путей, а затем правильно задать начальные и граничные условия для решения систем уравнений газовой динамики. После отладки программы можно приступать к решению обратных задач (восстановления формы источника торнадо, обнаружения места предполагаемого скопления наночастиц и т.п.).
А вот пример с водой. В Сибирском отделении РАН накоплен очень большой опыт применения математического моделирования при исследовании цунами — прежде всего, в Институте вычислительных технологий СО РАН (Ю.И.Шокин, Л.Б.Чубаров) и в Институте вычислительной математики и математической геофизики СО РАН (В.К.Гусяков, А.Г.Марчук). Цунами относятся к числу глобальных катастроф того же ряда, что землетрясения, ураганы, падение метеоритов. Проблема моделирования этих процессов и, тем более, их предсказания очень актуальна, поскольку, по данным Центра по исследованию эпидемиологии стихийных бедствий (Centre for Research on the Epidemiology of Disasters), проводившего с 1964 года учет катаклизмов различной природы, число катастроф увеличивается с каждым десятилетием. Причем они становятся всё более разрушительными. Вот точные данные: в период с 1973 по 1982 год в мире было зафиксировано около 1,5 тысячи катастроф (около 1 миллиона погибших), в период с 1983 по 1992 год их число увеличилось до 3,5 тысячи (1,2 миллиона погибших). С 1993 по 2002 год количество катаклизмов выросло уже до 6 тысяч, при этом число погибших составило около 620 тысяч человек. По данным на 11 октября 2016 года, жертвами урагана “Мэттью” стали более 400 человек на Гаити и более 30 в США. Особенно важно решение задач оперативного прогнозирования, позволяющего проводить необходимые мероприятия по защите населения, чтобы избежать большого количества человеческих жертв.
В отделе математических задач геофизики ИВМиМГ разработана специализированная система предупреждения, анализа, оценки риска и последствий природных и техногенных катастроф Integrated Tsunami Research and Information System (ITRIS). Концепция системы базируется на принципах ГИС-технологий, ITRIS содержит специализированные базы данных, программные компоненты для моделирования опасных природных явлений, инструменты для обработки и анализа геоданных, включающих спутниковые снимки, цифровые модели суши и морского дна, материалы дистанционного зондирования, базы данных по катастрофам, населению и инфраструктуре крупных городов. Главным достоинством системы является возможность ее пополнения новыми сведениями, численными моделями и алгоритмами.
Ну и последний пример — по Земле. При исследовании внутреннего строения нашей планеты одним из основных методов является суперкомпьютерное моделирование с целью решения обратных задач геофизики, включая поиск месторождений полезных ископаемых. Например, моделирование процесса распространения сейсмических волн в Земле требует огромных вычислительных ресурсов, параллельных вычислений на супер-ЭВМ нового поколения. Если же говорить об обратных задачах геофизики, то для решения трехмерных задач потребуются суперкомпьютеры экзафлопного типа, на которых можно будет многократно решать прямые задачи с постепенным уточнением геофизических моделей.
— Почему для этих исследований важна школа-конференция?
— С появлением компьютеров математика приобретает свойства экспериментальной науки, а с развитием обратных задач помогает исследователям уточнять и создавать новые математические модели физических, биологических и даже социальных процессов. Поэтому математическое образование становится делом чрезвычайной важности. Школы-конференции помогают молодым ученым сосредоточиться на новых направлениях, преодолеть внутрипредметные и междисциплинарные барьеры. Вот, например, несколько выводов по нашей школе. При изучении теории обратных задач одним из основных является вопрос о единственности решения. Особенно это важно для обратных задач геофизики, медицины, неразрушающего контроля. Теорема единственности решения в таких задачах позволяет ответить на вопрос, сколько и каких измерений достаточно провести для того, чтобы быть уверенным в том, что данным измерениям соответствует только один объект. Например, месторождение полезных ископаемых в геофизике, или какие-либо изменения внутренних органов в медицине, или скрытое нарушение структуры в дефектоскопии. Второй важнейший вопрос — оценки устойчивости решения обратных задач по отношению к ошибкам измерений, без которых не обходится ни один эксперимент.
Следующий этап исследований — численные методы решения обратных задач. В этом направлении активно используются методы оптимального управления, а также многомерные аналоги уравнений И.М.Гельфанда, Б.М.Левитана, М.Г.Крейна и В.А.Марченко.
Все эти направления наш институт развивает в сотрудничестве с коллегами из других организаций. Среди них Институт математики (С.К.Годунов, В.Г.Романов), Институт нефтегазовой геологии и геофизики (М.И.Эпов, И.Ю.Кулаков), Институт теоретической и прикладной механики (В.М.Фомин, В.В.Пикалов), Институт цитологии и генетики (Н.А.Колчанов, М.П.Мошкин), Международный томографический центр (Р.З.Сагдеев, И.В.Коптюг), Институт теплофизики (Д.М.Мар-кович, И.В.Марчук), Казахский национальный технический университет (Д.Б.Нурсеитов, Алма-Ата), Казахский национальный университет имени аль-Фараби (М.А.Бектемесов, Алма-Ата), Евразийский национальный университет им. Л.Н.Гумилева (К.Т.Искаков, Астана, Казахстан).
За прошедшие восемь лет нам на наших встречах удалось заслушать и обсудить практически все важнейшие направления развития теории и практики обратных задач. Удачным оказалось совмещение молодежной школы-конференции с крупными “взрослыми” форумами исследователей. Например, в 2015 году это была Международная конференция, посвященная Гурию Ивановичу Марчуку. Решать обратные задачи можно лишь при условии, что соответствующие прямые задачи хорошо изучены и для их решения построены эффективные численные алгоритмы. Поэтому участники школы-2015 с большим интересом и пользой слушали доклады Б.Н.Четверушкина, В.П.Дымникова, Е.Е.Тыртышникова, В.В.Шайдурова и других всемирно известных специалистов.
Благодаря регулярной финансовой поддержке РФФИ и ФАНО мы стали покупать оборудование для интернет-конференций и их трансляции, а также заочного участия слушателей и докладчиков. В будущем лектор сможет обращаться к аудитории из своего рабочего кабинета, отвечать на вопросы, комментировать выступления. В планах — представление наиболее перспективных направлений развития и применения обратных задач: обратные задачи рассеяния, асимптотические методы, методы оптимизации, распознавание образов, высокопроизводительные вычисления, в качестве лекторов будем приглашать именитых российских и зарубежных коллег.
Вспоминая свое становление в науке, должен признать, что огромное влияние на меня оказало участие в регулярных школах и конференциях, проводимых под руководством академиков А.Н.Тихонова (обратные и некорректные задачи) и А.А.Самарского (численные методы и математическое моделирование). И теперь по своим ученикам я замечаю, насколько они быстрее растут как ученые, готовясь к выступлению на наших школах и общаясь с научными лидерами. Они глубже прорабатывают свои докторские и кандидатские диссертации, готовят более интересные и современные курсы для студентов. А следом и наши студенты не только помогают в организации конференций, но и сами активно в них участвуют. Словом, сокращается разрыв поколений исследователей, сохраняется и развивается одна из самых современных научных школ.
Беседовала Ольга КОЛЕСОВА
Фотоснимки предоставлены С.Кабанихиным
На втором снимке: Алма-Ата, ущелье Медео после ураганного ветра. Поваленные деревья — данные обратной задачи восстановления источника.
На третьем снимке: Участники восьмой школы. Слева направо в первом ряду: С.С.Гончаров (директор ИМ СО РАН), М.П.Федорук (ректор НГУ), С.И.Кабанихин (директор ИВМиМГ СО РАН), А.А.Колович (руководитель СТУ ФАНО), М.И.Эпов (заместитель председателя СО РАН, директор ИНГиГ СО РАН), А.Н.Коновалов (советник РАН), В.В.Ковалевский (заместитель директора ИВМиМГ СО РАН).
Нет комментариев